Основные свойства операций над множествами закон де моргана

Множество — виды, операции и примеры решения

Мы каждый день сталкиваемся с большим количеством одинаковых предметов, но не задумываемся о том, как называется совокупность этих объектов. Это множество — математическая единица, подчиняющаяся определенным законам и правилам, обладающая разными свойствами и функциями.

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.

Пример:

1. А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.

2. Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

• конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
• бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
• пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В. 

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

N = {9, 11, 13, 15……}.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Q={-½; 0; ½, 5; 10}.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами. 

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

• умножения S ∩ D = D ∩ S;
• сложения S ∪ D = D ∪ S. 

Ассоциативность – сочетательные законы:

• умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
• сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G). 

Дистрибутивность – законы распределения:

• умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
• умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
• сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F). 

Транзитивность — законы включения:

• если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
• если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F. 

Идемпотентность объединения и пересечения:

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов. 

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам. 

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

1. Теория множеств. Дискретная математика

1.1. Множества и отношения. Множества и элементы множеств

1.2. Сравнение множеств

1.3. Операции над множествами

1.4. Диаграммы Эйлера-Венна

1.5. Табличный способ задания множеств

1.6. Свойства операций над множествами

1.7. Отношения

1.8. Специальные бинарные отношения

1.1. Множества и отношения

Множества и элементы множеств

Определение. Множество – любая определенная совокупность объектов произвольной природы. Обозначают множества прописными латинскими буквами: A, B, ¼ , а его элементы обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, ¼.

Например:

( является элементом множества (» принадлежит A»)),

( не является элементом множества A).

Определение. Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается оно символом: Æ.

Определение. – универсальное множество (универсум) – множество, из которого берутся элементы в конкретном рассуждении. – множество, рассматриваемое как наиболее общее в данной ситуации.

Множество элементов , удовлетворяющих свойству P(x) обозначается .

Примеры.

– множество натуральных чисел;

– множество вещественных чисел.

– множество комплексных чисел.

1.2. Сравнение множеств

Определение. (А содержится в В или В включает А), если . А называется подмножеством В. Если и , то А называется строгим (собственным) подмножеством В. Обозначается это .

Определение. если они являются подмножествами друг друга, то есть или

Определение. Мощность конечного множества – число его элементов. Мощность бесконечного множества равна ¥.

1.3. Операции над множествами

Определение. Объединением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.

Определение. Пересечением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и первому и второму одновременно.

Определение. Разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Определение. Симметрической разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не являющихся элементами множества В и элементов множества В, не являющихся элементами множества А.

Определение. Дополнением множества А () называется множество, состоящее из элементов множества U, не принадлежащих множеству А.

Пример:

зависит от того, какое U. Если , то , если , то .

1.4. Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна – это геометрическое представление множеств. Множество U изображается прямоугольником, рассматриваемые множества – фигурами (окружностями). Для выделения результата применяется штриховка.

1.5. Табличный способ задания множеств

Пусть задано множество U. Рассмотрим произвольное его подмножество и элемент .

Определение. Индикаторной (характеристической) функцией для множества A называется функция
.

Таким образом: .

Для имеют место свойства:

;

Индикаторы удобно задавать с помощью таблиц:

1.6. Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение:

1. = – коммутативность

2. = – коммутативность

3. – ассоциативность

4. – ассоциативность

5. – дистрибутивность

6. – дистрибутивность

7. – идемпотентность

8. – идемпотентность

9. – свойство дополнения

10. – свойство дополнения

11. – закон де Моргана

12. – закон де Моргана

13. – свойство нуля

14. – свойство нуля

Дополнение:

15. – инволютивность

16.

17.

Разность, симметрическая разность:

18.

19.

20.

21.

22.

23.

1.7. Отношения

Определение. Пусть A и B произвольные множества. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.

Пример. – точки плоскости.

Свойства декартовых произведений

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Понятие отношения.

Отношение это один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-либо признака R у элемента множества A. Например, «быть четным» на множестве натуральных чисел. Все элементы множества A, отличающиеся признаком R , образуют подмножество множества A, называемое отношением R.

Бинарные отношения

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множеств A и B. Все пары элементов множеств A и B, находящиеся в отношении R , образуют подмножество множества .

Определение. Бинарное отношение – это тройка множеств , где – график отношения. Пишут или aRb.

Область определения : ;

Область значений: ;

Обратное отношение: ;

Композиция отношений и :

.

Частичным порядком (пишут ), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

1.8. Специальные бинарные отношения

Бинарное отношение на A называется

1. Рефлексивным, если ;
2. Симметричным, если ;
3. Транзитивным, если ;
4. Антисимметричным, если ;
5. Отношением эквивалентности на (пишут ), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;

Определение. Бинарное отношение называется функцией из в , если и .

Функция называется

1. Сюръективной, если ;
2. инъективной, если ;
3. биективной, если она сюръективна и инъективна.

Операции над множествами

Рассмотрим операции над множествами, которые позволяют из уже имеющихся множеств образовывать новые множества.

Для любых двух множеств и определены новые множества, называемые объединением, пересечением, разностью и симметрической разностью:

— объединение,
— пересечение,
— разность,
— симметрическая разность,

т.е. объединение и есть множество всех таких , что является элементом хотя бы одного из множеств ; пересечение и — множество всех таких , что — одновременно элемент и элемент ; разность — множество всех таких , что — элемент , но не элемент ; симметрическая разность — множество всех таких , что — элемент , но не элемент или — элемент , но не элемент .

Кроме того, фиксируя универсальное множество , мы можем определить дополнение множества следующим образом: . Итак, дополнение множества — это множество всех элементов универсального множества, не принадлежащих .

Полезно разобраться в том, как операции над множествами, введенные выше, соотносятся с логическими операциями. Пусть и , т.е. множество задано посредством характеристического предиката , а множество — посредством характеристического предиката .

Легко показать, что

Следующие процедуры получения новых множеств связаны с понятием подмножества. Говорят, что есть подмножество множества , если всякий элемент есть элемент . Для обозначения используют запись: .

Нетрудно проверить, что если и , то тогда и только тогда, когда высказывание тождественно истинно.

Сопоставляя определение подмножества и определение равенства множеств, мы видим, что множество равно множеству тогда и только тогда, когда есть подмножество и наоборот, т.е.

(1.2)

Формула (1.2) является основой для построения доказательств о равенстве множеств. Ее применение состоит в следующем. Чтобы доказать равенство двух множеств и , т.е. что , достаточно доказать два включения и «, т.е.

доказать, что из предположения (для произвольного ) следует, что , и, наоборот, из предположения следует, что . Такой метод доказательства теоретико-множественных равенств называют методом двух включений.

Примеры применения этого метода мы дадим позже.

Замечание. Равенство множеств и означает, что предикаты Р(х) и Q(x) эквивалентны, т.е. предикат Р(х) О Q{x) является тождественно истинным.

Собственное подмножество и булеан множества

Если , но , то пишут и называют строгим подмножеством (или собственным подмножеством) множества , а символ — символом строгого включения.

Для всякого множества может быть образовано множество всех подмножеств множества . Его называют булеаном множества и обозначают

Для булеана используют также обозначения и .

Пример. а. Булеан множества состоит из четырех множеств

, то есть .

б. Булеан состоит из всех возможных, конечных или бесконечных, подмножеств множества . Так, и , вообще для любого множество , множество

и т.д.

Подчеркнем, что единственным элементом множества является, в свою очередь, некоторое множество.

Вообще же образование булеана открывает путь для построения множеств, элементами которых являются множества, элементами которых, в свою очередь, являются некоторые множества, и т.д. Так можно определить множества и т.д.

Основные свойства операций над множествами законы де моргана

Два множества мы положили равными по размеру, если их элементы можно связать друг с другом неким взаимно-однозначным преобразованием.

Примером такого преобразования может быть наша нумерация элементов: занумеровав элементы какого-либо множества, мы определили взаимно-однозначное отображение между этим множеством и множеством натуральных чисел .

Теперь пусть два множества и оба равномощны какому-нибудь третьему множеству . Давайте докажем, что в этом случае и между собой множества и равномощны.

Действительно, пусть каждому элементу из взаимно-однозначным отображением сопоставляется элемент из , который мы обозначим как , а каждому элементу из другим взаимно-однозначным отображением сопоставляется элемент из , который мы обозначим как . Теперь сопоставим каждому элементу из элемент . Если разобраться, то видно, что это корректная формула и что .

Теперь рассмотрим множествоВ= {множество молодых людей}. Нижняя граница определяется значением 0 (0 лет), а верхнюю границу определить сложнее. Пусть она равняется 25 годам, т.е. Но тогда возникает вопрос: «Почему на следующий же день после 25-тилетия человек становится не молодым?».

В таких случаях применяют более гибкие формулировки. Поэтому появляется потребность во введении нечеткого множества, например,= {он ещё молодой}.Функцию принадлежности представим графически (рис. 1.3)

возраст

Рис. 1.3. Функция принадлежности нечеткого множества

Таким образом, число 1 соответствует элементу универсального множества, принадлежащему нечеткому множеству , число 0 означает, что элемент точно не принадлежит.

Но возможны случаи отношений с разными областями определения. Для таких случаев вводится операция, меняющая область определения. Она называется операцией сужения отношения и формулируется следующим образом.

Пусть задано отношение на множестве А, и имеется другое множество Тогда операция сужения отношения на множество В определяет новое отношение

Например, пусть = и Тогда

Основные свойства отношений

Таких свойства три: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Отношение называется рефлексивным, если для любого элемента выполняется .

Отношение называется симметричным, если для любых выполняются отношения и .

Отношение называется транзитивным, если для любых из и следует

Хорошими пояснениями приведенных свойств отношений являются следующие вербальные типы отношений.

Но мы, следуя большинству учебников для младших курсов, не будем различать строгую и нестрогую вложенность множеств и будем пользоваться значками и независимо от того, могут и совпадать или нет.

Как можно было догадаться, множества и называются равными, если они совпадают, то есть любой элемент, который есть в , есть и в , и наоборот.

Ещё это определение можно записать так: , если одновременно и .

(Ещё раз обращаю внимание: мы могли написать и , но мы договорились не различать между собой значки и .) Ещё одно интересное понятие, касающееся сравнения множеств — их эквивалентность — мы подробно обсудим ниже.

3. Операции над множествами

Несмотря на всю абстрактность и разнообразие множеств, есть несколько основных операций, аргументами которых могут выступать абсолютно любые множества.

Такие множества невозможно себе представить, и невозможно сконструировать какими-либо разумными и последовательными путями.

Чтобы избежать возникновения таких вот парадоксов, математики вот уже добрую сотню лет пытаются формализовать понятие множества, усложняя и усложняя теорию Кантора.

Но это очень специфичная область; нам же достаточно лишь знать, что без формулировок типа «множество всех множеств» и «множество, содержащее себя» в наших выкладках всё будет хорошо.

Студенты, изучающие всевозможные курсы высшей математики и математического анализа, большую часть времени будут сталкиваться с частными случаями множеств — числовыми множествами, то есть множествами, элементами которых являются исключительно вещественные числа. Например, все вещественные числа образуют множество, которые мы привыкли называть вещественной прямой и обозначать значком .Разумеется, можем мы это чисто теоретически; даже если множество и конечно, то в нём может быть миллион, миллиард, триллион и вообще сколько угодно элементов, и записать их все мы физически не сможем.) Понятно, что объединение, пересечение, разность двух конечных множеств — тоже конечное множество. (Обратите внимание, что пустое множество считается по определению конечным и содержащим 0 элементов.) Действительно, откуда там взяться бесконечному количеству элементов? Можно взять свойство и посложнее: пересечение конечного и бесконечного множеств всегда конечно. Опять-таки, откуда в нём взяться бесконечному числу элементов, если все они должны принадлежать каждому из «множителей», в том числе и нашему конечному множеству? В конечном множестве мы можем точно и однозначно сосчитать количество элементов.

Попробуйте его проделать!)

3.3. Произведение множеств

Ещё одна крайне важная и часто встречающаяся операция над множествами — их произведение. Чтобы дать определение этой причудливой операции, нам потребуется понятие набора. Набором, или кортежем называется совокупность конечного числа элементов, заданных в определённом порядке.

Важно: в наборе, в отличие от нашего традиционного множества, элементы могут повторяться. Набор из элементов зачастую обозначается как . Собственно, в этом параграфе нас будет интересовать по большей части один частный случай набора — упорядоченная пара. Упорядоченная пара — это просто набор из двух элементов.

Пару из элементов и мы будем обозначать как (не путать с интервалом вещественной прямой!). Вот теперь можно перейти и к самому интересному.

18.Закон распределения в теории вероятностей — собирательный термин, заменяющий такие понятия как распределение вероятностей, функция распределения, плотность распределения, или плотность вероятности.

Законы распределения:

• Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

• В теории вероятностей случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, если она принимает конечное число значений с равными вероятностями.

• Нормальное распределение (распределение Гаусса) -величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех.

Так содержательный смысл рефлексивности поясняет отношение знакомства: каждый знаком с самим собой. симметричности поясняет отношение родства: если а родственник в, то и в родственник а. Содержательный смысл транзитивности поясняет отношение связи: если город а связан железной дорогой с городом в, который связан железной дорогой с городом с, то город а связан железной дорогой с городом с.

Кроме основных свойств отношений имеют место и некоторые другие, например, с добавкой частицы «анти». Среди них следует выделить свойство антисимметричности.

Отношение Ф называется антисимметричным, если оба отношения и выполняется только тогда, когда х = у.

В качестве иллюстрации этого свойства рассмотрим такой пример. Пусть отношение Ф задано на множестве R действительных чисел, и Ф есть отношение «≤».

Кстати, такое произведение обозначается как .

4. Мощности множеств

Итак, мы потихоньку подходим к важнейшему вопросу о мощности множеств. Формальная сторона этого вопроса довольно замысловата, так что поначалу займёмся объяснением «на пальцах».

4.1.

Счётные множества

Мы уже столкнулись с таким понятием, как конечное множество — это множество, в котором конечное (то есть не бесконечное) количество элементов. Такие множества довольно просты. Например, мы можем записать их обычным перечислением всех их элементов.

Не нашли ответа на свой вопрос? Узнайте, как решить именно Вашу проблему — позвоните прямо сейчас: 

(Москва)

(Санкт-Петербург)
(Федеральный номер)

Это быстро и бесплатно!